Лекция 8. Случайные события и их вероятности

Цель: познакомиться с основными понятиями теории вероятностей, сформировать у студентов понятие «вероятность» с точки зрения классического подхода, понятия зависимых и независимых событий, условной вероятности.

Испытания и события

Предметом теории вероятностей является изучение законов, управляющих случайными событиями (явлениями). К одним из основным понятий теории вероятностей относятся испытание и событие.

Под испытанием (опытом) понимают реализацию данного комплекса условий, в результате которого непременно произойдет какое-либо событие.

Пример 1. Брошена монета – испытание. Появление герба или цифры – события.

Случайным событием называется событие, связанное с данным испытанием, которое при осуществлении этого испытания может произойти, а может и не произойти. Прилагательное «случайное» для краткости часто опускают и говорят просто «событие».

Пример 2. В урне имеются белые и черные шары. Из урны наугад берут два шара. Оба шара белые – случайное событие.

Достоверным событием называется событие, которое в результате данного испытания непременно произойдет.

Пример 3. Брошена игральная кость. Выпадение не более шести очков – достоверное событие.

Невозможным событием называется событие, которое заведомо не произойдет в результате данного испытания.

Пример 4. Брошена игральная кость. Выпадение десяти очков – невозможное событие.

Случайные события обозначаются большими буквами латинского алфавита A, B, С, ... Например, событие А – попадание в мишени при стрельбе, событие В – появление герба при бросании монеты. Достоверное событие будем обозначать буквой U, невозможное V.

Виды случайных событий

Пусть произведено испытание, в результате которого возможны события А1, А2,..., Аn.

События А1, А2,..., Аn называются несовместными, если осуществление одного из них исключает осуществление других.

Пример 5. В ящике имеются стандартные и нестандартные детали. Наудачу берут одну деталь. События А1 – «появилась стандартная деталь» и А2 – «появилась нестандартная деталь» являются несовместными событиями.

Пример 6. Брошена игральная кость. Событие А1 – «появление двух очков» и событие А2 – «появление четного числа очков» совместны, так как появление одного из них не исключает появление другого.

События А1, А2,..., Аn называются равновозможными, если условия испытания обеспечивают одинаковую возможность осуществления каждого из них.

Пример 7. Появление того или иного числа очков при бросании игральной кости есть события равновозможные, так как игральная кость изготовляется из однородного материала и имеет строго симметричную форму.

События А1, А2,..., Аn образуют полную группу событий, если в результате данного испытания непременно произойдёт хотя бы одно из них.

Пример 8. В урне имеются три белых шара, перенумерованных цифрами 1, 2, 3, и пять черных шаров, перенумерованных цифрами 1, 2, 3, 4, 5. Из урны наугад берут один шар. События:

А1 – «появление шара с цифрой 1»,

А2 – «появление шара с цифрой 2»,

А3 – «появление шара с цифрой 3»,

А4 – «появление шара с цифрой 4»,

А5 – «появление шара с цифрой 5»

образуют полную группу.

Важную роль играет полная группа несовместных событий, т. е. такая группа событий, что в результате данного испытания непременно произойдет одно и только одно событие данной группы.

Пример 9. При бросании игральной кости возможны события:

А1 – «появление одного очка»,

А2 – «появление двух очков»,

А3 – «появление трех очков»,

А4 – «появление четырех очков»,

А5 – «появление пяти очков»,

А6 – «появление шести очков».

Эти события образуют полную группу несовместных событий.

Два случайных события называются противоположными, если одно из них происходит в той и только том случае, когда не происходит другое.

Событие, противоположное событию А обозначают через  (читают «неА»).

Пример 10. Попадание и промах при выстреле по мишени – противоположные события. Если А – попадание, то  – промах.

Очевидно, что противоположные события образуют полную группу событий.

Отметим, что любое случайное событие может быть представлено в виде некоторого множества. Поясним сказанное на конкретном примере.

Пример 11. При бросании игральной кости непременно произойдет одно из событий А1, А2, А3, А4, А5, А6 (см. пример 9). Каждое из этих событий назовем элементарным событием. Все элементарные события Ai (i=1, 2, 3, 4, 5, 6) образуют множество элементарных событий A = {А1, А2, А3, А4, А5, А6}.

Очевидно, что: 1) событие В – «появление четного числа очков» может быть представлено в виде множества В = {А2, А4, А6}; 2) событие С – «появление числа очков, не большего трех», может быть представлено множеством С = {А1, А2, А3}; 3) событие D – «появление числа очков, которое делится на 3», может быть представлено множеством D = {А3, А6} и т. д.

Нетрудно заметить, что множества В, С и D являются подмножествами множества элементарных событий A. Таким образом, любое случайное событие может быть представлено подмножеством множества всех элементарных событий данного испытания.

Операции над событиями

Прежде всего, установим некоторые отношения между событиями. Рассмотрим события:

А – «появление трех очков при бросании игральной кости»,

В – «появление нечетного числа очков при бросании игральной кости».

Очевидно, что если произошло событие А, то непременно произошло и событие В. В этом случае говорят «А влечет за собой В» (или «В является следствием А») и записывают АIВ (или ВEA).

Если события А и В таковы, АIВ и BIA, то они называются равными (равносильными), при этом пишут А=В.

Пример 12. Брошена симметричная монета. Событие А – «появление герба», событие В – «непоявление цифры». Очевидно, что АIВ и BIA и, следовательно, А=В.

Отметим, что событие А может быть частью события В только в том случае, когда элементарные события, представляющие событие А, принадлежат подмножеству элементарных событий, представляющих событие В.

Пример 13. В урне имеются пять белых шаров, перенумерованных от 1 до 5, и семь черных шаров, перенумерованных от 6 до 12. Очевидно, что событие А – «появление шара с номером 8», влечет за собой событие В – «появление черного шара». Поэтому АIВ.

Так как события могут быть представлены в виде подмножеств множества элементарных событий, то действия над событиями выполняются аналогично действиям над множествами.

Суммой или объединением двух событий А и В называется событие С, состоящее в осуществлении хотя бы одного из событий А или В (безразлично, какого именно, или обоих, если это возможно).

Символически записывают так:

или .

Сумма событий интерпретируется как объединение (сумма) множеств (подмножеств множества элементарных событий).

Пример 14. Найти сумму событий: А – «появление одного очка при бросании игральной кости» и В – «появление двух очков при бросании игральной кости».

Решение. Суммой А + В является событие С – «появление не больше двух очков при бросании игральной кости», поэтому .

Если события А и В – несовместные, то сумма А + В является событием, состоящим в осуществлении одного из этих событий, безразлично какого (их совместное осуществление невозможно).

Непосредственно из определения суммы событий вытекают следующие свойства сложения:

1) А + В = В + А (коммутативность);

2) (А + В) + С = А + (В + С) (ассоциативность);

Произведением или пересечением двух событий А и В называется событие С, состоящее в одновременном осуществлении А и В.

Пример 15. Найти произведение событий А – «студенту попался экзаменационный билет с четным номером» и В – «студенту попался экзаменационный билет с номером, кратным пяти».

Решение. Произведением А?В является событие С – «студенту попался экзаменационный билет с номером, кратным десяти», поэтому А?В = С.

Если события А и В – несовместные, то А?В = V, т. е. произведение А?В – невозможное событие.

Можно показать, что для умножения событий имеют место свойства:

1) А?В = В ?А (коммутативность);

2) А?(В?С) = (А?В)?С (ассоциативность);

3) А?(В + С) = А?В + А?С (дистрибутивность);

4) A?A=V.

Вероятность события

Известно, что случайное событие в результате испытания может произойти, а может и не произойти. Однако объективная возможность различных событий в одном и том же испытании может, вообще говоря, быть различной.

Рассмотрим пример. В урне 12 одинаковых, тщательно перемешанных шаров, причем 3 из них белые и 9 черные. Из урны наудачу вынимают один шар. Очевидно, что возможность появления черного шара «больше», чем возможность появления белого шара. В этом случае говорят: «вероятность появления черного шара больше вероятности появления белого шара». Под вероятностью события понимают численную меру объективной возможности появления этого события.

Поставим своей задачей научиться находить эту численную меру объективной возможности события, т. е. находить вероятность события, причем ограничимся лишь вычислением вероятностей в классической модели.

Под классической моделью понимают такое множество элементарных событий, которое образует полную группу несовместных событий и все элементарные события равновозможны.

Например, при бросании игральной кости множество элементарных событий:

А1 – «появление одного очка»,

А2 – «появление двух очков»,

А3 – «появление трех очков»,

А4 – «появление четырех очков»,

А5 – «появление пяти очков»,

А6 – «появление шести очков»

образует классическую модель. Вероятность каждого из этих элементарных событий Ai (i= 1, 2, 3, 4, 5, 6) считаем равной 1/6.

Рассмотрим теперь события: А – «появление четного числа очков», B – «появление не больше двух очков». Нетрудно заметить, что событие А произойдет, если произойдет по крайней мере одно из событий А2, А4, А6. В этом случае говорят, что событию А благоприятствуют события А2, А4, А6. Очевидно, что событию В благоприятствуют события А1 и А2.

То элементарное событие, при котором интересующее нас событие наступит, называется благоприятствующим этому событию.

При бросании игральной кости имеем 6 элементарных событий, из них 3 благоприятствуют событию А.

Вероятность события А считаем равной 3/6 = 1/2. Аналогично, вероятность события В равна 2/6 = 1/3.

Вероятностью Р(А) события А называется отношение числа m элементарных событий, благоприятствующих этому событию, к общему числу n равновозможных событий.

Это определение носит название классического определения вероятности.

т. е. вероятность достоверного события равна единице, а вероятность невозможного события равна нулю.

Пример 16. В урне 3 белых и 9 черных шаров. Из урны наугад вынимают один шар. Какова вероятность того, что вынутый шар окажется черным (событие А)?

Решение. Имеем m = 9, n = 12.

Основные теоремы теории вероятностей. Сложение

Теорема 1. Вероятность суммы двух несовместных событий А и В равна сумме вероятностей этих событий.

Из теоремы 1 вытекают некоторые следствия.

Следствие 1. Вероятность суммы нескольких несовместных событий А1, А2, …, Аn равна сумме вероятностей этих событий.

Следствие 2. Если события А1, А2, …, Аn несовместны и образуют полную группу, то сумма их вероятностей равна единице.

Следствие 3. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице.

Пример 17. Военный летчик получил задание уничтожить два рядом расположенных склада боеприпасов противника. На борту самолета осталась лишь одна бомба. Вероятность попадания в первый склад равна 0,225, во второй – 0,325. В результате детонации любое попадание взрывает оба склада. Какова вероятность того, что склады будут уничтожены?

Решение. События А – «попадание в первый склад» и В – «попадание во второй склад» несовместны, поэтому вероятность попадания хотя бы в один из складов.

Пример 18. Вероятность того, что день будет ясным, р = 0,85. Найти вероятность q того, что день будет облачным.

Решение. События «день ясный» и «день облачный» противоположные, поэтому

р + q = 1 U q = 1 – р = 1 – 0,85 = 0,15.

Теорема 2. Если события А и В совместны, то вероятность их суммы выражается формулой.

т. е. вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их произведения (совместного осуществления).

Пример 19. Найти вероятность того, что при бросании двух игральных костей хотя бы один раз выпадет 6 очков.

Решение. Обозначим события:

А – «выпадение шести очков при бросании первой игральной кости»;

В – «выпадение шести очков при бросании второй игральной кости».

Основные теоремы теории вероятностей. Умножение

Два события А и называются независимыми, если вероятность одного из них не зависит от того, произошло или не произошло другое.

Пример 26. Игральная кость брошена два раза. Вероятность появления трех очков в первом испытании (событие А) не зависит от появления или не появления трех очков во втором испытании (событие В). Аналогично, вероятность появления трех очков во втором испытании не зависит от результата первого испытания. Следовательно, события А и В – независимые.

Теорема 3. Вероятность произведения двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий.

Пример 20. Два стрелка стреляют по одной и той же цели. Вероятность попадания в цель для первого стрелка равна 0,9, для второго – 0,8. Найти вероятность того, что оба стрелка попадут в цель.

Решение. Обозначим события:

А – «попадание в цель первым стрелком»,

В – «попадание в цель вторым стрелком».

Два события А и В называются зависимыми, если вероятность одного из них зависит от того, произошло или не произошло другое.

Пример 21. В ящике имеется 90 стандартных деталей и 10 нестандартных. Из ящика наудачу берут одну за другой две детали. Вероятность появления стандартной детали при первом испытании (событие А) равна Р(А) = 90/100 = 0,9. Вероятность появления стандартной детали при втором испытании (событие В) зависит от результата первого испытания: если в первом испытании событие А произошло, то Р(В) = 89/99; если же событие В не произошло, то Р(В) = 90/99 = 10/11. Следовательно, события А и В – зависимые.

Вероятность события А, вычисленная при условии, что событие В произошло, называется условной вероятностью события А при условии В и обозначается Р(А|В).

Пример 22. В урне а белых и b черных шаров. Из урны наудачу последовательно вынимают два шара. Найти вероятность того, что второй шар окажется черным при условии, что первый шар был черным.

Решение. Обозначим события:

A – «первый шар черный»;

В – «второй шар черный».

Если произошло событие A, то в урне осталось всего a + b – 1 шаров, из них b – 1 черных. Поэтому условная вероятность события В при условии, что произошло событие A.

Для зависимых событий справедлива следующая теорема.

Теорема 4. Вероятность произведения двух зависимых событий А и В равна произведению вероятности одного из этих событий на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое событие произошло.

Пример 23. В учебных мастерских техникума изготовляются детали на трех станках. Вероятность изготовления детали на первом станке равна 0,6. Вероятность появления годной детали на первом станке равна 0,8. Найти вероятность того, что годная деталь изготовлена на первом станке.

Решение. Обозначим события:

A – «деталь изготовлена на первом станке»,

В – «деталь годная».

Имеем: Р(А) = 0,6, Р(В|А) = 0,8.

Вопросы для самоконтроля:

1. Как в теории вероятностей определяется термин «событие»?

2. Какие события называются случайными, достоверными, невозможными?

3. Приведите примеры достоверных и невозможных событий.

4. Какие события называются совместными?

5. Приведите примеры совместных и несовместных событий.

6. Что называется суммой событий?

7. Что называется произведением событий?

8. Приведите классическое определение вероятности.

9. Чему равна вероятность суммы двух несовместных событий?

10. Чему равна сумма вероятностей противоположных событий?

11. Чему равна вероятность суммы двух совместных событий?

12. Какое событие называется зависимым?

13. Что называют условной вероятностью?

14. Приведите примеры независимых событий.