Лекция 4. Понятие о дифференциальных уравнениях
Цель: ввести понятие «дифференциальное
уравнение», познакомиться с основными определениями и понятиями теории
дифференциальных уравнений.
Решение различных задач сводится к
отысканию неизвестной функции из уравнения, содержащего независимую переменную,
искомую функцию и производные (или дифференциалы) этой функции. Такое уравнение
называется дифференциальным. Рассмотрим задачу, приводящую к дифференциальному
уравнению.
Решение. Пусть – искомое уравнение, а М(х, у) –произвольная точка кривой,
определяемой этим уравнением; предположим, для определенности, что кривая
расположена в первой четверти (см. рис.).
По условию задачи имеем |BM| = |MA|, а, следовательно, |OP| = |PA| = х. Из рис. видно, что.
Учитывая, что tga есть угловой коэффициент касательной, который в точке М(х, у) равен у?, получаем дифференциальное уравнение искомой кривой. Дифференциальным уравнением называется уравнение, содержащее независимую переменную х, искомую функцию у и ее производные у', у''.., у(n).
Порядком дифференциального
уравнения называется
порядок наивысшей производной, входящей в данное уравнение.
Например, – уравнение первого порядка, – уравнение третьего порядка.
Уравнение (2) является уравнением n-го порядка, записанным в общем виде.
Уравнение (4) называется уравнением первого порядка, разрешенным
относительно производной.
Решением дифференциального
уравнения называется
всякая функция, которая обращает данное уравнение в тождество.
Так, например, решением уравнения (1)
является всякая функция вида, где С – постоянная.
В самом деле, заменив в уравнении (1)
у его значением из равенства
(5).
При различных числовых значениях
постоянной С равенство (5) определяет
различные решения уравнения (1). Например, нетрудно убедиться, что
функции (С
= 1), (С = 3) являются решениями уравнения (1).
Таким образом, для дифференциального
уравнения (1) мы рассмотрели как общее
решение , где С – произвольная постоянная, так и частные его решения, и другие, которые
получаются из общего решения при различных числовых значениях постоянной С.
Общим решением дифференциального
уравнения n-го порядка называется функция,
зависящая от n произвольных постоянных С1, C2,…, Сn и удовлетворяющая данному уравнению
при любых значениях этих постоянных.
Так, общим решением дифференциального
уравнения первого порядка называется функция,
содержащая только одну постоянную и
удовлетворяющая данному уравнению при любом фиксированном значении постоянной С.
Частным решением дифференциального
уравнения называется
решение, полученное из общего решения при фиксированных значениях произвольных
постоянных.
Чтобы из бесконечного числа решений
дифференциального уравнения, определяемых его общим решением, выделить одно частное решение,
требуется ввести начальные условия.
Задать начальные условия дифференциального уравнения n-го порядка означает задать некоторое фиксированное значение аргумента и соответствующие значения функции и ее производных
Задача нахождения частного решения
В случае дифференциального уравнения
первого порядка задача Коши ставится так: найти частное решение
Пусть, например, требуется найти
частное решение уравнения (1), удовлетворяющего условию
Общим решением уравнения (1) является функция (5). Подставляя в общее решение начальные условия.
Таким образом, искомым частным решением уравнения (1) является функция.
С геометрической точки зрения общее решение дифференциального уравнения определяет семейство кривых, называемых интегральными кривыми, а частное решение определяет лишь одну-единственную интегральную кривую. Так, общее решение уравнения определяет семейство равносторонних гипербол, асимптотами которых являются оси координат (см. рис.), а также прямую у = 0 (при С = 0). Частное решение определяет лишь одну гиперболу, проходящую через точку (2; 3).
Вопросы для
самоконтроля:
1. Какое уравнение называется
дифференциальным?
2. Что называется порядком
дифференциального уравнения?
3. Дайте определение общего и
частного решений дифференциального уравнения. Как они связаны между
собой?
4. Сформулируйте задачу
Коши.
5. Какие кривые называются
интегральными?