Лекция 2. Операции над множествами

 

Цель: познакомиться с основными операциями над множествами.

Подмножества

Понятие подмножества возникает каждый раз, когда приходится рассматривать некоторое множество не самостоятельно, а как часть другого, более широкого множества. Именно, говорят, что множество B является подмножеством другого множества A, если каждый элемент x из B является вместе с тем и элементом множества A. В этом случае пишут B ? A.

Например, если взять какую-нибудь среднюю школу, то множество учеников десятых классов этой школы является подмножеством в множестве всех учеников данной школы. В свою очередь множество учеников этой школы является подмножеством в множестве всех школьников.

Множество всех лис является подмножеством в множестве всех хищных зверей, множество хищных зверей – подмножеством в множестве млекопитающих, а множество млекопитающих – подмножеством в множестве позвоночных. Если геометрическая фигура X является частью геометрической фигуры Y, то множество точек фигуры X есть подмножество множества точек фигуры Y.

В геометрии также часто приходится иметь дело с подмножествами некоторых множеств геометрических фигур. Возьмем, например, следующие множества: множество A состоит из всех четырехугольников; множество B состоит из всех трапеций; множество C состоит из всех параллелограммов; множество D состоит из всех прямоугольников; множество E состоит из всех квадратов. В этом списке фигура каждого следующего типа является частным случаем фигуры предыдущего типа (трапеция – частный случай четырехугольника, параллелограмм – частный случай трапеции и т.д.). Но это и означает, что каждое следующее множество является подмножеством предыдущего:

A?B ?C ?D?E.

Точно так же в следующем списке каждое следующее множество является подмножеством предыдущего: множество всех комплексных чисел; множество всех действительных чисел; множество всех рациональных чисел; множество всех целых чисел; множество всех натуральных чисел.

Универсальное множество

Как правило, все множества, с которыми имеют дело в том или ином рассуждении, являются подмножествами некоторого фиксированного множества I. Мы будем называть в этом случае множество I универсальным множеством. Например, все числовые множества являются подмножествами множества действительных чисел, множество точек любой геометрической фигуры – подмножеством в множестве всех точек геометрического пространства, множество сторон плоского многоугольника – подмножеством в множестве всех отрезков на плоскости и т. д.

Пересечение множеств

В сентябре 1887 года знаменитому сыщику Шерлоку Холмсу понадобилось выяснить название одного парусного судна. Он знал об этом корабле не слишком много: в январе или феврале 1883 года оно было в Пондишери, в январе 1885 года – в Данди, а сейчас стояло в Лондонском порту. Пользуясь этими данными, он все-таки установил название корабля. Для этого достаточно было сравнить три множества: множество парусников, бывших в указанное время в Пондишери, множество парусников, находившихся в январе 1885 года в Данди, и множество парусников, находившихся сейчас в Лондоне. Оказалось, что только одно судно входило во все три множества – американский корабль «Одинокая звезда». А так как Шерлок Холмс полагал к тому же, что преступники родом из Америки, то круг замкнулся и преступление было раскрыто.

Искать общие элементы множеств приходится не только сыщикам. Ученый-бактериолог, ищущий возбудителя болезни, наблюдает у одного больного этой болезнью одних микробов, у другого – других, у третьего – третьих. Множества микробов, наблюдаемых у разных больных, различны, но обычно два или три микроба наблюдаются у всех больных этой болезнью. На них и падает подозрение как на возбудителей болезни. И дальнейшее исследование показывает, кто же истинный виновник заболевания.

Множество, состоящее из общих элементов нескольких множеств A, B, C, ... , называется пересечением этих множеств или их произведением. Пересечение двух множеств A и B обозначается AB или A ? B. Это записывают так: (читается: множество таких x…).

Итак, пересечением нескольких множеств A, B, C, ...называют новое множество, содержащее те и только те элементы, которые входят в каждое из множеств A, B, C, ...

Например, пусть ученики данной школы участвуют в четырех спортивных секциях: футбольной, плавания, шахматной и бокса. Пересечение множеств участников каждой секции состоит из спортсменов-универсалов, которые могут и забить пенальти, и переплыть широкую реку, и создать грозную атаку на короля противника, и отразить нападение хулигана.

Разумеется, и в самой математике понятие пересечения множеств находит многочисленные приложения. Например, решение систем уравнений и неравенств, по сути дела, сводится к отысканию пересечения некоторых множеств. Пусть, например, надо решить систему уравнений.

С точки зрения алгебры перед нами задача найти все пары чисел (x; y), при подстановке которых в оба уравнения системы получаются тождества. Но уравнения системы можно рассматривать по отдельности. Обозначим через M множество всех пар чисел (x; y), удовлетворяющих первому из наших уравнений, а через N – множество всех пар чисел (x; y), удовлетворяющих второму уравнению. Тогда решениями системы будут все пары чисел, принадлежащие как множеству M, так и множеству N. Иными словами, множеством решений нашей системы является пересечение множеств M и N.

Путем изучения пересечения множеств покажем, что иррациональное уравнение не имеет решений. Сначала выясним, при каких значениях x имеют смысл радикалы, входящие в это уравнение. Радикал  имеет смысл, если. Решая это неравенство, получим, что. Точно так же обнаруживаем, что радикал имеет смысл, лишь, если. Но отрезки  и 3  не имеют общих точек, их пересечение пусто. Поэтому ни одно значение x не может удовлетворять исходному уравнению.

Сложение множеств

Еще чаще, чем пересекать множества, приходится объединять их. Пусть есть два сплава. Один сплав содержит железо, углерод, ванадий и марганец, а второй – железо, углерод, хром и никель. В каждый сплав входят по 4 химических элемента, но если мы сплавим их вместе, то в новый сплав войдут только 6 элементов: железо, углерод, ванадий, марганец, хром и никель. Дело в том, что железо и углерод были в обоих сплавах, а при объединении множеств повторяющиеся элементы считаются лишь по одному разу.

Таким образом, суммой нескольких множеств A, B, ... называют новое множество, состоящее из тех и только тех элементов, которые входят хоть в одно из слагаемых множеств. Сумму множеств A и B обычно обозначают A + B или A ? B:

.

Для конечных множеств число элементов суммы может оказаться меньше, чем сумма чисел элементов слагаемых. Например, пусть первое множество состоит из различных букв русского алфавита, входящих в первую строку «Евгения Онегина», а второе – из различных букв, входящих во вторую строку этой поэмы. Первое множество состоит из 18 букв:

М, О, Й, Д, Я, С, А, Ы, Х, Ч, Е, Т, Н, П, Р, В, И, Л.

Второе же множество состоит из 13 букв:

К, О, Г, Д, А, Н, Е, В, Ш, У, Т, З, М.

Суммой этих двух множеств является следующий набор 23 букв:

М, О, Й, Д, Я, С, А, Ы, Х, Ч, Е, Т, Н, П, Р, В, И, Л, К, Г, Ш, У, З.

Буквы О, Д, А, Н, Е, В, Т, М, входящие в пересечение наших множеств, вошли в сумму только один раз, и поэтому мы получили только 23 буквы, а не 18 + 13 = 31 букву.

Иногда сумма состоит из бесконечного числа слагаемых множеств. Например, обозначим через A3 множество правильных треугольников, через A4 – множество правильных четырехугольников, через A5 – множество правильных пятиугольников и т. д. Тогда суммой всех этих множеств является множество A всех правильных многоугольников.

Разбиение множеств

Вообще говоря, слагаемые множества могут иметь общие элементы. Однако часто бывает, что некоторое множество A является суммой своих подмножеств, никакие два из которых не имеют общих элементов (или, как обычно говорят, не пересекаются). В этом случае говорят, что множество A разбито на непересекающиеся подмножества.

Разбиение на подмножества часто используется для классификации объектов. Например, когда составляют каталог книг в библиотеке, то все множество книг разбивают на книги беллетристического характера, книги по общественно-политическим наукам, по естественным наукам и т.д.

В биологии все множество животных разбивается на типы, типы – на классы, классы – на отряды, отряды – на семейства, семейства – на роды, а роды – на виды.

Вычитание множеств

Полицейский-инспектор Варнике осмотрел сейф, закурил свою трубку и сказал: «Электродрелью вскрывают сейфы только пять взломщиков: Алек Кунце, Фриц Шмидт, Густав Хойгер, Генрих Кунтцман и Томас Мюллер. Но Алек, Фриц и Густав сейчас находятся в тюрьме Моабит. Придется спросить Генриха и Томаса, где они провели прошлую ночь...»

Метод, которым воспользовался инспектор Варнике, основан на операции вычитания множеств. Он имел дело с двумя множествами – множеством A взломщиков, пользовавшихся электродрелью, и множеством B всех обитателей тюрьмы Моабит. Удалив из множества A все элементы, принадлежащие множеству B, он сузил круг подозреваемых преступников.

Вообще, разностью двух множеств A и B называют новое множество, обозначаемое A ? B или A \ B, в которое входят все элементы множества A, не принадлежащие B:

Мы видим, что для того, чтобы из множества A можно было вычесть множество B, совершенно не обязательно, чтобы множество B было частью множества A – вычитание B из A сводится к удалению из A общей части A и B:

A?B =A?AB.

Например, инспектору Варнике надо было из числа пяти взломщиков отбросить трех – тех, что пользовались электродрелью и в то же время находились в данный момент в тюрьме.

В случае, когда B является частью множества A, A ? B называют дополнением к множеству B в A и обозначают B?A. Например, дополнением множества четных чисел в множестве всех целых чисел является множество нечетных чисел. Дополнением множества всех квадратов в множестве прямоугольников является множество всех прямоугольников с неравными сторонами. А дополнением того же множества квадратов в множестве всех ромбов является множество ромбов с неравными диагоналями.

Если все множества рассматриваются как подмножества универсального множества I, то обычно под дополнением множества B понимают его дополнение в I. В этом случае вместо B?I пишут просто B?.

Алгебра множеств

Мы познакомились с основными действиями над множествами – сложением, вычитанием и умножением (пересечением) множеств. Эти действия обладают целым рядом свойств, напоминающих свойства действий над числами. Как известно, вся алгебра многочленов построена на немногих законах действий над числами, которые выражаются следующими равенствами:

а) a + b = b + a (коммутативность сложения),

б) (a + b) + c = a + (b + c) (ассоциативность сложения),

в) a + 0 = a (свойство нуля),

г) a + (?a) = a ? a = 0 (свойство противоположного элемента),

д) ab = ba (коммутативность умножения),

е) (ab)c = a(bc) (ассоциативность умножения),

ж) a(b + c) = ab + ac (дистрибутивность умножения относительно сложения),

з) a · 1 = a (свойство единицы).

Большинство этих свойств действий над числами сохраняется и для действий над множествами. Например, ясно, что для любых двух множеств имеем A+B =B +A (A+B и B +A обозначают одно и то же множество, в которое входят все элементы из A и из B и не входят никакие другие элементы). Точно так же ясно, что (A+B)+C =A+(B +C) – оба множества составлены из всех элементов, входящих хотя бы в одно из множеств A, B и C. Так же доказывается, что AB = BA и (AB)C = A(BC) (множества AB и BA состоят из общих элементов множеств A и B, а множества (AB)C и A(BC) – из общих элементов множеств A, B и C).

Роль нуля и единицы в действиях над множествами играют множества ? (пустое множество) и I (универсальное множество). Именно, справедливы равенства

A+?=A, A·?=?, A·I =A,

соответствующие равенствам

a + 0 = a, a · 0 = 0, a · 1 = a

для чисел.

Таким образом, сложение и умножение множеств обладают теми же свойствами, что и сложение, и умножение чисел.

Поэтому все формулы алгебры многочленов, в которые входят лишь действия сложения и умножения, остаются справедливыми и для множеств. Например, тождеству

(a + b)2 = a2 + b2 + 2ab

соответствует тождество

(A+B)2 =A2 +B2 +2AB,

где положено A2 =A·A и 2AB =AB +AB.

Но алгебра множеств имеет и своеобразные черты. Ее основное своеобразие состоит в том, что если одно из множеств A и B является подмножеством другого, то формулы для суммы и произведения множеств упрощаются, а именно: если A ? B, то A + B = B и AB = A.

В частности, так как A ? A, то A + A =  AA = A, а так как A ? I, то A + I = I.

Это позволяет упростить формулы алгебры множеств. Например, так как A2 = A, B2 =B, AB ?A, то A2 +2AB =A+2AB =A и формула (A+B)2 =A2 +B2 +2AB, принимает вид (A + B)2 = A + B. Вообще, в алгебре множеств не имеет смысла говорить о степенях, так как для любого n имеем An = A.

В теории множеств есть еще операция, отсутствующая в обычной алгебре. Это операция перехода от данного множества A к его дополнению A?= I ? A. Ясно, что множества A и A? не пересекаются, а в сумме составляют все универсальное множество I. Таким образом, AA? = ? и A+A? = I. Кроме того, ясно, что ?? = I (дополнение пустого множества совпадает с универсальным множеством) и I ? = ?. Далее, имеет место равенство (A?)? =A.

Приведем полный список свойств действий над множествами (как обычно, через ? мы обозначаем пустое множество, через I – универсальное множество, через A? – дополнение множества A в универсальном множестве).

1) A ? A.

2) Если A?B и B ?A, то A=B.

3) Если A?B и B ?C, то A?C.

4) ? ? A.

5) A ? I.

6) A+B =B +A.

7) AB =BA.

8) A+(B +C)=(A+B)+C.

9) A(BC) = (AB)C.

10) A+A=A.

11) AA=A.

12) A(B +C)=AB +AC.

13) A+BC =(A+B)(A+C).

14) A+?=A.

15) AI = A.

16) A + I = I.

17) A?=?.

18) Соотношение A ? B эквивалентно каждому из соотношений A+B=B, AB =A.

19) A + A? = I.

20) AA? = ?.

21) ?A? = I.

22) I ? = ?.

23) (A?) ? = A.

24) Соотношение A ? B эквивалентно B? ? A?.

25) (A + B)? = A?B?.

26) (AB)? = A? + B?.

Диаграммы Эйлера-Венна

В 1741 году Эйлер пишет «Письма о разных физических и философических материях, написанные к некоторой немецкой принцессе...», где появились впервые «круги Эйлера». Эйлер писал тогда, что «круги очень подходят для того, чтобы облегчить наши размышления».

При решении целого ряда задач Леонард Эйлер использовал идею изображения множеств с помощью кругов, и они получили название «круги Эйлера».

С помощью этих кругов Эйлер изобразил и множество всех действительных чисел:

N – множество натуральных чисел,

Z – множество целых чисел,

Q – множество рациональных чисел,

R – множество всех действительных чисел.

Метод Эйлера получил заслуженное признание и популярность. И после него немало ученых использовали его в своей работе, а также видоизменяли на свой лад. Например, чешский математик Бернард Больцано использовал тот же метод, но с прямоугольными схемами.

Свою лепту внес также немецкий математике Эрнест Шредер. Но главные заслуги принадлежат англичанину Джону Венну. Он был специалистом в логике и издал книгу «Символическая логика», в которой подробно изложил свой вариант метода (использовал преимущественно изображения пересечений множеств).

Благодаря вкладу Венна метод даже называют диаграммами Венна или еще Эйлера-Венна.

С помощью диаграмм Эйлера-Венна можно очень наглядно изображать операции над множествами. Пусть множества A и B изображаются кругами:

Тогда пересечение множеств A ? B, объединение множеств A ? B, разность множеств A / B и B / A на диаграммах Эйлера-Венна выглядят следующим образом:

При использовании универсального множества I (обозначается в виде прямоугольной области), также можно наглядно представить само множество A и его дополнение A?:  

Для случая трех множеств диаграмму Эйлера-Венна изображают с помощью трех кругов с центрами в вершинах равностороннего треугольника и одинаковым радиусом, который приближенно равен длине стороны треугольника. Например, если вы не можете определиться, какую профессию выбрать, попробуйте нарисовать схему в виде кругов Эйлера. Возможно, чертеж вроде этого поможет вам определиться с выбором:

Те варианты, которые окажутся на пересечении всех трех кругов, и есть профессия, которая не только сможет вас прокормить, но и будет вам нравиться.

Если используется более 3 множеств, то на диаграммах они изображаются и в виде эллипсов.

Вопросы для самоконтроля:

1. Что называется подмножеством?

2. Дайте определение пересечения двух множеств.

3. Дайте определение сложения двух множеств.

4. Дайте определение вычитания двух множеств.

5. Сформулируйте свойства действий над множествами.

6. Что такое диаграмма Эйлера-Венна?

7. Изобразите операции над множествами с помощью диаграмм Эйлера-Венна.