Учебник по дисциплинам Математика и Информатика

Цель: ввести понятие «приближенное значение числа» и ознакомиться с его числовыми характеристиками, познакомиться с простейшими численными методами.

Погрешности приближенных значений чисел

При измерении непрерывных величин, при определении количества элементов больших множеств, при выполнении арифметических операций, вычислении значений функций мы сталкиваемся с приближенными значениями величин, так как измерить или вычислить точное значение величины не всегда удается.

Число a называется приближенным значением или приближением некоторой величины (или просто приближенным числом), если a – число, близкое к истинному значению x данной величины.

Основными характеристиками приближенных чисел являются абсолютная и относительная погрешности. Пусть a – приближение величины х.

Абсолютной погрешностью Dа приближения  называется модуль разности.

Этот пример показывает, что точное значение абсолютной погрешности, как и точное значение рассматриваемой величины, является, вообще говоря, громоздким числом, неудобным для вычислений. Больше того, часто точное значение рассматриваемой величины является неизвестным, следовательно, неизвестным является и точное значение абсолютной погрешности. Поэтому для характеризации точности приближения вводится понятие границы абсолютной погрешности.

Границей абсолютной погрешности приближения  называется такое положительное число h которое больше (или равно) абсолютной погрешности Dа:

В отличие от абсолютной погрешности граница абсолютной погрешности не определяется однозначно. Поэтому на практике в качестве границы абсолютной погрешности h берется по возможности наименьшее число, которое удобно для вычислений и обеспечивает необходимую точность.

По известной границе абсолютной погрешности h находятся границы, в которых заключено точное значение числа x:

Абсолютная погрешность, так же как и граница абсолютной погрешности, не достаточна для полной характеристики приближения. Пусть, например, при измерении длины радиоволны абсолютная погрешность равна одному метру. Для длинных радиоволн порядка 1000 м это будет хорошая точность, в то время как для коротких волн, длина которых около 40 м, ошибка измерений окажется слишком большой. Таким образом, для более полной характеристики точности измерения необходимо определить, какую часть, или сколько процентов, составляет абсолютная погрешность от значения данной величины.

Относительной погрешностью d приближенного значения а числа х называется отношение абсолютной погрешности Dа этого приближения к числу.

Так как абсолютная погрешность а обычно бывает неизвестна, то на практике оценивают относительную погрешность некоторым числом e, которое заведомо не меньше этой погрешности.

Число e называется границей относительной погрешности.

Чем меньше относительная погрешность, тем выше качество измерений или вычислений. Относительная погрешность – величина безразмерная, что позволяет сравнивать качество измерений величин разной размерности.

По известной границе относительной погрешности можно определить границу абсолютной погрешности.

Запись приближенных чисел. Верные и значащие цифры

Цифра a в представлении приближенного числа десятичной дробью называется верной, если абсолютная погрешность числа не превосходит единицы того разряда, в котором записана эта цифра. В противном случае она называется сомнительной.

Например, если а = 3,7412 ± 0,002, то цифра 4 верная, так как h = 0,002 < 0,01, следовательно, предыдущие цифры 7 и 3 также верны; цифра 1 сомнительная, так как h = 0,002 > 0,001, тем более следующая цифра 2 является сомнительной.

Для записи приближенных чисел десятичными дробями принимается следующее правило: если не указывается граница абсолютной погрешности, то приближение записывается так, чтобы все записанные цифры были верные. Так, в случае последнего примера следует писать а = 3,74.

Значащими цифрами приближенного числа называются все его верные цифры, кроме нулей, стоящих перед первой цифрой (слева направо), отличной от нуля.

Округление и погрешность округления

Округление десятичной дроби состоит в отбрасывании единиц младших разрядов начиная с некоторого. Полученное число принимается в качестве приближенного значения дроби. Абсолютная погрешность, допускаемая при округлении, называется погрешностью округления.

Существует несколько способов округления положительных десятичных дробей, но наиболее часто применяемым является правило округления с наименьшей погрешностью. Это округление производится по следующим правилам:

единицы младших разрядов отбрасываются;

число единиц данного разряда не изменяется, если следующая цифра дроби меньше 5, и увеличивается на единицу, если следующая цифра больше или равна 5.

Пример. Округлить с наименьшей погрешностью до сотых, десятых и единиц число 32,467.

Имеем 32,47; 32,5; 32. Погрешности округления соответственно равны 0,003; 0,033; 0,467.

Вычисления со строгим учетом погрешностей

Под строгим учетом погрешностей понимаются правила, по которым определяются границы абсолютной и относительной погрешностей результатов операций в зависимости от границ погрешностей данных чисел.

т. е. граница абсолютной погрешности суммы и разности равна сумме границ абсолютных погрешностей слагаемых, соответственно, уменьшаемого и вычитаемого.

т. е. граница относительной погрешности произведения и частного равна сумме границ относительных погрешностей сомножителей, соответственно, делимого и делителя.

Итак, зная границу абсолютной (относительной) погрешности некоторой величины, по формуле можно найти границу относительной (абсолютной) погрешности.

Численное решение уравнений с одной переменной

Будем рассматривать уравнение где f(x) – некоторая функция действительного аргумента, определенная и непрерывная и некотором конечном или бесконечном интервале (a; b).

Число x₀, из области определения функции f(x) называется корнем уравнения.

Наша задача состоит в описании элементарных приемов, позволяющих находить корни уравнения  с достаточной для практики степенью точности.

Процесс нахождения корней уравнения распадается на несколько этапов:

1) определяются границы интервала, в котором находятся все корни уравнения ;

2) устанавливаются возможно малые промежутки, в каждом из которых содержится ровно один корень;

3) каждый из корней вычисляется с заданной точностью.

В общем виде определение границ интервала, в котором находятся все корни уравнения , можно дать только для алгебраического уравнения в каноническом виде

В дальнейшем будем находить только действительные корни алгебраических уравнений.

Рассмотрим несколько методов нахождения приближенных значений действительных корней уравнения (1).

Метод половинного деления

Поставим задачу: методом половинного деления найти приближенное значение положительного действительного корня x₀ алгебраического уравнения  с точностью до e.

Решение. 1) Предположим, что удалось найти достаточно малый промежуток [x₁; х₂], содержащий ровно один действительный корень x₀ алгебраического уравнения . Тогда, непрерывная и дифференцируемая функция  принимает на его концах значения разных знаков.

2) Разделим промежуток [x₁; х₂]точкой  на два одинаковых: [x₁; х₃] и [x₃; х₂].

корень x₀ содержится в промежутке [x₁; х₃].

корень x₀ содержится в промежутке [x₃; х₂].

Предположим, для определенности. что корень х₀ находится в промежутке [x₁; х₃].

Метод хорд

Предположим, что удалось найти малый промежуток [x₁; х₂], содержащий ровно один действительный корень уравнения (1).

Тогда непрерывная и дифференцируемая функция  принимает на его концах значении разных знаков.

Предположим также, что промежуток [x₁; х₂], столь мал, сохраняют постоянный знак.

Рассмотрим только один из четырех случаев расположения дуги кривой (см. рис.).

Метод касательных (метод Ньютона)

При тех же предположениях, что и в методе хорд, рассмотрим только один из четырех случаев расположения дуги кривой.

После выполнения неравенства, где e – выбранная нами точность приближения, процесс следует закончить.

Остальные случаи рассматриваются аналогично.

Метод последовательных приближений (метод итераций)

Предположим, что нам удалось найти достаточно малый промежуток [x₁; х₂], содержащий ровно один действительный корень уравнения (1), и что функция  непрерывна и дифференцируема во всех точках данного промежутка.

Заменим уравнение (1) уравнением вида: , равносильным ,чинному. Это всегда можно сделать и притом многими способами.

Приведем без доказательства формулировку теоремы, определяющую условия применимости метода итераций.

Если уравнение   равносильное ему уравнение  имеет ровно один действительный корень на промежутке [x₁; х₂] и, кроме этого, выполняются условия

то метод итераций имеет решение, причем в качестве начального приближения корня можно брать любое действительное значение x₀ uз отрезка [x₁; х₂].

Геометрическая иллюстрация метода итераций.

1) Для того чтобы приближенно, с заданной точностью, найти действительный корень х₀ уравнения, содержащийся в промежутке [x₁; х₂], построим графики функций   на этом промежутке и определим абсциссу х₀ их точки пересечения (см. рис.).

2) В качестве начального приближения возьмем любое действительное значение х₀₁ из промежутка [x₁; х₂]. Подставляя его в функцию , получим величин. Геометрически этому действию соответствует точка А₁ криво. Подставляя затем y₀₁ в функцию , получаем значение.

Геометрически этому действию соответствует точка B₁, прямой.

3) Подставляя значение х₀₂ в функцию, получим величину. Геометрически этому действию соответствует точка А₂ кривой. Подставляя затем y₀₂ в функцию, получаем значение. Геометрически этому действию соответствует точка В₂ прямой.

4) В результате получим последовательность значений x₀₁, x₀₂, x₀₃,..., сходящуюся к x₀.

После выполнения неравенства, где e – выбранная нами точность приближения, процесс следует закончить.

Вопросы для самоконтроля:

1. Дайте определения абсолютной и относительной погрешностей приближенного числа.

2. Что называется границей абсолютной погрешности? относительной погрешности? Как они связаны между собой?

3. Какие цифры приближенного числа называются верными? значащими?

4. Сформулируйте правила округления с наименьшей погрешностью.

5. Что понимают под строгим учетом погрешностей?

6. Приведите правила нахождения абсолютной и относительной погрешности величин, полученных в результате арифметических действий над приближенными значениями чисел.

7. Перечислите основные методы численного решения алгебраических уравнений с одной переменкой. Кратко охарактеризуйте их.