Лекция 6. Дифференциальные уравнения второго порядка

Цель: ознакомиться с простейшими дифференциальными уравнениями второго порядка и алгоритмами их решений.

Дифференциальное уравнение второго порядка в общем случае записывается в виде или, если это возможно, в разрешенном относительно у" Общим решением уравнения (2) называется функция, содержащая две произвольные постоянные С₁ и С₂ и удовлетворяющая условиям:

1) при любых значениях постоянных С₁ и С₂ функция является решением уравнения (2);

2) каковы бы ни были начальные условия

существуют единственные значения С₁₀ и С₂₀ такие, что функция является решением уравнения (2) и удовлетворяет начальным условиям (3).

Частным решением уравнения (2) называется всякое решение , получающееся из общего решения при фиксированных значениях С₁ = С₁₀ и С₂ = С₂₀.

Уравнения этого вида решаются двукратным интегрированием. где F(x) – одна из первообразных для функции f(x). Так как , то

Отсюда, интегрируя еще раз, находим общее решение уравнения (4) .

Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение вида где р и q – постоянные величины.

Два частных решения у₁(х) и y₂(х) уравнения (5) образуют фундаментальную систему решений. Докажем, что решения у₁ и у₂ образуют фундаментальную систему решений, а у₁ и у₃ – не образуют.

В самом деле, найдя вронскианы указанных пар решений, получим:

Теорема (о структуре общего решения). Если два частных решения у₁(х) и у₂(х) линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами образуют фундаментальную систему, то общее решение этого уравнения имеет вид где С₁ и С₂ – произвольные постоянные.

Выражение называется линейной комбинацией функций у₁(х) и у₂(х).

Решение линейных однородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами

Итак, для нахождения общего решения уравнения (5) достаточно найти два его частных решения, образующих фундаментальную систему.

Будем искать частные решения уравнения (5) в виде где k = const; Подставляя выражения для y, у' и у" в уравнение (5)

Уравнение (9) называется характеристическим уравнением линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

Решив характеристическое уравнение, найдем его корни k₁ и k₂,

Чтобы заменить комплексные решения действительными.

Так как и являются линейными комбинациями частных решений у₁ и у₂ т. е. имеют вид (7), то они сами являются решениями уравнения (5), причем можно показать, что они образуют фундаментальную систему решений (определитель Вронского для этих решений отличен от нуля).

Вопросы для самоконтроля:

1. Запишите дифференциальное уравнение 2-го порядка в общем виде.

2. Запишите линейное дифференциальное уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами.

3. Дайте определение вронскиана.

4. Какая система решений называется фундаментальной?

5. Какое уравнение называется характеристическим уравнением линейного однородного дифференциального уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами?

6. Приведите схему решения линейного однородного дифференциального уравнения 2-го с разделяющимися переменными.