Лекция 3. Основные понятия математического анализа

Цель: познакомиться с основными понятиями математического анализа – пределом, производной, неопределенным и определенным интегралом, – их свойствами и правилами вычисления.

Предел функции

Пусть функция у = f(x) определена в некоторой окрестности какой-либо фиксированной точки а, исключая, быть может, только саму точку а.

Число b называется пределом функции f(x) при х ® а, если для любой последовательности аргументов х₁, х₂,…, х_n,… (х_n ? а), сходящейся к а, соответствующая последовательность значений функции f(x₁), f(x₂),…, f(x_n), ... сходится к b.

Предел функции обозначают символом и пишут.

В логических символах это определение записывается в виде .

Предел имеет простой геометрический смысл, если обратиться к графику функции (см. рис.).

Он состоит в том, что при любом выборе последовательности соответствующая последовательность на оси Оу. Это значит, что последовательность точек М_n(х_n,у_п), расположенных на графике функции у = f(x), устремляется к точке (а,b).

Подчеркнем, что в самой точке х = а функция у = f(x) может быть не определена, что на графике отмечено стрелками и кружком с пустотой.

При вычислении пределов используются следующие свойства пределов:

На практике для вычисления пределов часто пользуются следующей таблицей замечательных пределов:

Производная функции.

Пусть у = f(x) – функция вещественной переменной, определенная на некотором интервале (а, b). Рассмотрим отношение приращения функции к приращению аргумента, т.е.

Пусть существует конечный предел отношения (1) в процессе Dx®0. Тогда функция у = f(x) называется дифференцируемой в точке, а сам предел называется производной функции у = f(x) в точке х.

Обозначается производная функции у = f(x) либо у'.

Ясно, что в каждой конкретной точке производная у' есть число, поэтому, если функция дифференцируема в каждой точке интервала (а,b), то ее производная является также функцией на интервале (а,b).

Пример 3. у = с, где с – постоянная. Ясно, что для постоянной функции Dу = 0 при любом Dх. Следовательно (с)' = 0, т.е. производная постоянной равна тождественно нулю.

откуда, используя свойство непрерывности функции cosx и первый замечательный предел, находим, что

Приведем формулы дифференцирования элементарных функций в виде таблицы:

При нахождении производных более сложных функций используется ряд правил:

Первообразная и неопределенный интеграл

Пусть f(х) – некоторая функция, заданная на интервале (а,b). По этой функции определяется вторая функция F(x), также заданная на интервале (а,b), называемая первообразной функции f(х).

Дифференцируемая функция F(x) называется первообразной функции f(х), если в каждой точке интервала (а,b) справедливо равенство.

Первообразная заданной функции f(х) определяется неоднозначно; множество всех первообразных заданной функции f(х) может быть получено из какой-либо конкретной первообразной F(x) путем добавления произвольной постоянной C.