Учебник по дисциплинам Математика и Информатика

Цель: получить представление о случайных величинах, ознакомиться с их числовыми характеристиками.

Случайной величиной называется переменная X, которая в результате испытания может принять одно и только одно значение, не известное заранее и зависящее от исхода испытания.

Пример 1. При бросании игральной кости случайной является величина X – число очков, которое выпадет на верхней грани. Возможными значениями величины X служат числа 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Пример 2. Число родившихся мальчиков среди ста новорожденных есть случайная величина X, возможными значениями которой являются числа 0, 1, 2, 3, ,.. .,., 100.

Величина X называется дискретной случайной величиной, если множество ее возможных значений представляет собой конечную или бесконечную последовательность чисел х₁, х₂, ..., x_n, ... и если каждое соотношение X = x_i (i = 1, 2, ...) является элементарным случайным событием и имеет определенную вероятность p_i = Р(X = x_i).

Мы будем рассматривать дискретные случайные величины лишь с конечными множествами значений.

Законом распределения дискретной случайной величины X называется соответствие между возможными значениями x_i и их вероятностями p_i.

Закон распределения (как и всякую функцию) можно задать таблично, аналитически и графически. Если случайная величина X может принимать лишь конечное число различных значений х₁, х₂, ..., x_n, то элементарные события X = х₁, X = х₂, ..., X = x_n образуют полную группу и поэтому сумма их вероятностей равна единице, т. е.

p₁ + p₂ + ...+ p_n = 1.

Закон распределения такой величины может быть представлен в виде таблицы:

Вот, например, как выглядит таблица распределения вероятностей дискретной случайной величины X – числа очков, выпадающего при бросании правильной игральной кости:

Математическим ожиданием М(Х) дискретной случайной величины X называется сумма произведений всех ее возможных значений x_i на их вероятности р_i:

М(Х) = х₁p₁ + х₂p₂ + ...+ x_n p_n.

Пример 3. Найти математическое ожидание случайной величины Х, зная закон ее распределения:

М(Х) = –1?0,2 + 0?0,1 + 1?0,25 + 2?0,15 + 3?0,3= 1,25.

Пусть при проведений n независимых испытаний дискретная случайная величина X может принимать m₁ раз значение х₁, m₂ раз значение х₂, .., m_k раз значение х_k. Тогда сумма всех значений величины X равна

х₁m₁ + х₂m₂ + ...+ x_km_k.

Таким образом, математическое ожидание дискретной случайной величины X равно среднему арифметическому полученных значений этой величины.

Математическое ожидание обладает следующими свойствами.

1) Математическое ожидание постоянной величины С равно самой постоянной:

М(С) = С.

2) Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых:

.

3) Математическое ожидание произведения независимых случайных величин равно произведению математических ожиданий этих величин:

.

4) Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания:

.

Пример 4. Найти математическое ожидание случайных величин X и Y, зная законы их распределения:

 

Мы получили любопытный результат: законы распределения величин X и Y разные, а их математические ожидания одинаковы.

Из рис. б видно, что значения величины Y сосредоточены около математического ожидания М(Y), а значения величины X разбросаны (рассеяны) подальше от математического ожидания М(Х) (рис. а). Основной числовой характеристикой рассеяния возможных значений случайной величины X служит дисперсия D(X), которая определяется по формуле.

Величина  называется средним квадратическим отклонением случайной величины X.

Формулу для дисперсии можно привести к следующему виду, более удобному для вычислений:

.

Пример 5. Дискретная случайная величина распределена по закону:

Найти D(X).

Решение. Сначала находим

М(X) = –1?0,2 + 0?0,1 + 1?0,3 + 2?0,4 = 0,9,

а затем

М(X²) = 1?0,2 + 0?0,1 + 1?0,3 + 4?0,4 = 2,1.

 

Итак, основная особенность случайной величины состоит в том, что нельзя заранее предвидеть, какое из возможных значений она примет в результате испытания. Однако при достаточно большом числе испытаний суммарное поведение случайных величин почти утрачивает случайный характер и становится закономерным. Весьма важным при этом является знание условий возникновения закономерностей случайной величины. Эти условия составляют содержание ряда теорем, получивших общее название закона больших чисел. Впервые этот закон (в простейшей его форме) был сформулирован Бернулли в виде теоремы, устанавливающей связь между вероятностью случайного события и его относительной частотой.

Относительной частотой W(A) случайного события А называют отношение числа m испытаний, в результате которых событие произошло, к общему числу n проведенных испытаний.

Оказывается, что при многократном повторении испытания относительная частота случайного события принимает значения, близкие к вероятности того, что оно произошло в результате одного испытания. Например, знаменитый статистик К. Пирсон бросил монету 24000 раз и получил при этом 12012 гербов, что дает относительную частоту, очень близкую к вероятности, равной 1/2, появления герба в одном испытании.

Теорема Бернулли. С вероятностью, сколь угодно близкой к единице, можно утверждать, что при достаточно большом числе независимых испытаний относительная частота случайного события как угодно мало отличается от его вероятности при отдельном испытании.

Наиболее общим законом больших чисел является теорема П. Л. Чебышева, которая утверждает, что среднее арифметическое достаточно большого числа независимых случайных величин с равномерно ограниченными (не превышающими постоянного числа С) дисперсиями утрачивает характер случайной величины.

Вопросы для самоконтроля:

1. Дайте определение дискретной случайной величины.

2. Что называется законом распределения дискретной случайной величины?

3. Какой смысл имеет математическое ожидание дискретной случайной величины?

4. Как рассчитывается дисперсия дискретной случайной величины?

5. Что такое относительная частота случайного события?

6. Поясните смысл закона больших чисел.