Лекция 1. Множества
Цель: ввести понятие «множество»,
познакомиться со способами задания множеств и их основными
свойствами.
Что такое
множество
Множество – это совокупность объектов,
определённая некоторым правилом. Можно представлять себе множества коробками, в
которых лежат элементы.
Проиллюстрируем понятие множества на
примерах. Часто приходится говорить о нескольких вещах, объединенных некоторым
общим признаком. Так, можно говорить о множестве всех стульев в комнате, о
множестве всех атомов на Юпитере, о множестве всех клеток человеческого тела, о
множестве всех картофелин в данном мешке, о множестве всех рыб в океане, о
множестве всех квадратов на плоскости, о множестве всех точек на данной
окружности и т. д.
Предметы, составляющие данное
множество, называются его элементами. Для того чтобы указать, что данное
множество A состоит из элементов x, y, ..., z, обычно пишут A = {x, y, ..., z}.
Например, множество дней недели
состоит из элементов {понедельник, вторник, среда, четверг, пятница, суббота,
воскресенье}, множество месяцев – из элементов {январь, февраль, март, апрель,
май, июнь, июль, август, сентябрь, октябрь, ноябрь, декабрь}, множество
арифметических действий – из элементов {сложение, вычитание, умножение,
деление}, а множество корней квадратного уравнения x2 ? 2x ? 24 = 0 – из двух чисел: ?4 и 6, то
есть имеет вид {?4, 6}.
Фигурные скобки в обозначении
множества показывают, что элементы объединены в одно целое – множество A. Тот факт, что элемент x принадлежит множеству A, записывают с помощью знака
?
так: x ?A. Если же данный элемент x не принадлежит множеству A, то пишут xIA. Например, если A означает множество всех четных
натуральных чисел, то 6?A, а 3IA. Если A – множество всех месяцев в году, то
май ?A, а средаIA.
Таким образом, когда мы говорим о
множестве, то объединяем некоторые предметы в одно целое, а именно во множество,
элементами которого они являются. Основатель теории множеств Георг Кантор
подчеркнул это следующими словами: «Множество есть многое, мыслимое нами как
единое».
Если множество содержит конечное
число элементов, то его называют конечным, а если в нем бесконечно много
элементов, то бесконечным. Так,
множество деревьев в лесу конечно, а множество точек на окружности
бесконечно.
Как задают
множества
Возможны различные способы задания
множества. Один из них состоит в том, что дается полный список элементов, входящих во
множество. Например, множество учеников данного класса определяется их списком в
классном журнале, множество всех стран на земном шаре – их списком в
географическом атласе, множество всех костей в человеческом скелете – их списком
в учебнике анатомии.
Но этот способ применим только к
конечным множествам, да и то далеко не ко всем. Например, хотя множество всех
рыб в океане и конечно, вряд ли его можно задать списком. А уж бесконечные
множества никак нельзя определять с помощью списка; попробуйте, например,
составить список всех натуральных чисел или список всех точек окружности – ясно,
что составление этого списка никогда не закончится.
В тех случаях, когда множество нельзя
задать при помощи списка, его задают путем указания некоторого характеристического свойства – такого
свойства, что элементы множества им обладают, а все остальное на свете не
обладает. Например, мы можем говорить о множестве всех натуральных чисел. Тогда
ясно, что число 73 принадлежит этому множеству, а число
В геометрии часто приходится иметь
дело с множествами точек, заданными теми или иными характеристическими
свойствами. Обычно, следуя древним традициям, множество точек с данным
характеристическим свойством в геометрии называют геометрическим местом точек.
Например, говорят так: «Окружностью называется геометрическое место точек
плоскости, равноудаленных от данной точки этой плоскости». Это означает, что
множество точек плоскости, равноудаленных от данной точки этой плоскости,
совпадает с множеством точек некоторой окружности.
Трудности при задании множеств их
характеристическими свойствами возникают из-за недостаточной четкости обыденного
языка, неоднозначности человеческой речи. Большое число промежуточных форм
затрудняет разграничение объектов на принадлежащие и не принадлежащие данному
множеству. Например, даже множество планет Солнечной системы определено не
вполне однозначно. Наряду с большими планетами (Меркурием, Венерой, Землей,
Марсом, Юпитером, Сатурном, Ураном, Нептуном и Плутоном) вокруг Солнца
обращается около 1600 малых планет, так называемых астероидов. Поперечники
некоторых таких планет (Цереры, Паллады, Юноны и других) измеряются сотнями
километров, но есть и астероиды, поперечник которых не превышает
Приведенный пример показывает, с
какой тщательностью нужно формулировать определение множества, чтобы избежать
неясности и двусмысленности, свойственных обычному нашему
языку.
Не всегда затруднения с определением
состава множества зависят только от недостатков языка. Иногда причина лежит
гораздо глубже. Приведем следующий пример. Полковому брадобрею (парикмахеру)
приказали брить тех и только тех солдат его полка, которые не бреются сами.
Возник вопрос, как ему поступать с самим собой. Если он будет брить себя, то его
следует отнести к числу солдат, которые бреются сами, а брить таких солдат он не
имеет права. Если же он себя брить не будет, то его придется отнести к числу
солдат, которые сами не бреются, а тогда по приказу он должен себя
брить.
Причём же здесь теория множеств? А
вот причём: командир пытался определить множество людей, которых брадобрею нужно
брить, таким образом: {те и только те, кто не бреется
сам}.
Казалось бы, обычное множество,
описывается несколькими русскими словами, чем оно хуже, например, множества {все
ученики школы}?
Но с этим множеством тут же возникает
проблема: непонятно, принадлежит ли этому множеству
брадобрей.
А вот более сложный пример конечного
множества, относительно которого оказывается невозможным сказать, содержит ли
оно данный элемент. Разделим все прилагательные в русском языке на два класса. К
первому классу отнесем все прилагательные, для которых выражающее их слово само
обладает свойством, описываемым этим прилагательным, а ко второму –
прилагательные, не обладающие описываемым им свойством. Например, прилагательное
«русское» отнесем к первому классу, так как слово «русское» принадлежит к
словарному запасу русского языка. К тому же классу отнесем и прилагательное
«пятисложное», так как в слове «пятисложное» именно пять слогов. А
прилагательное «немецкое» отнесем во второй класс, так как слово «немецкое»
входит в словарный состав русского, а не немецкого языка. Во второй класс
попадет и слово «односложное», так как в этом слове не один, а пять слогов. Туда
же попадет и слово «синее», так как это слово само цветом не обладает, а только
выражает некоторый цвет.
Казалось бы, все в полном порядке и
каждое прилагательное нашло свое место. Но для того, чтобы отличить полученные
два класса друг от друга, введем еще два прилагательных. Назовем все
прилагательные первого класса «автологичными» (от греческих слов «авто» – сам и
«логос» – смысл, закон), а прилагательные второго класса «гетерологичными»
(«гетерос» – другой). Давайте рассмотрим прилагательное «гетерологичный». К
какому классу его отнести? Его относить некуда – оно доставляет те же трудности,
что и взводный цирюльник.
Его нельзя отнести в класс
автологичных слов, так как тогда слово «гетерологичный» должно было бы само
обладать свойством, выражаемым этим словом, а это свойство заключается в том,
что ему надо быть не в первом, а во втором классе. Нельзя его отнести и во
второй класс, так как тогда оно должно было бы не обладать выражаемым им
свойством гетерологичности, а потому быть автологичным, второй же класс
автологичных слов не содержит.
Столкнувшись с этими трудностями,
создатели теории множеств осознали, что нельзя задавать множества произвольными
словосочетаниями.
Пустое
множество
Само название «множество» наводит на
мысль, что каждое множество должно содержать много (по крайней мере, два)
элементов. Но это не так. В математике приходится рассматривать и множества,
содержащие только один элемент, и даже множество, не имеющее ни одного элемента.
Это множество называют пустым и обозначают ?.
Примерами пустых множеств могут
служить множество лошадей, пасущихся на Луне, множество десятиногих
млекопитающих, множество трехлетних гроссмейстеров, множество действительных
корней уравнения, множество решений системы уравнений.
Зачем же вводят пустое множество?
Во-первых, отметим, что когда множество задано своим характеристическим
свойством, то не всегда заранее известно, существует ли хоть один элемент с
таким свойством. Например, пусть множество A состоит из всех четырехугольников
таких, что
а) все их углы
прямые,
б) диагонали имеют различную
длину.
Для человека, не знающего геометрии,
ничего противоречивого в этих требованиях нет. Однако из теоремы о равенстве
диагоналей прямоугольника следует, что множество таких четырехугольников пусто.
Пусто и множество треугольников, сумма углов которых отлична от 180°. Множество квадратных трехчленов,
имеющих более двух корней, тоже пусто. Вообще многие математические утверждения
можно сформулировать как утверждения о пустоте некоторого
множества.
Не решая уравнения , было бы
трудно установить, пусто или нет множество его действительных
корней.
Впрочем, если переписать это
уравнение в виде , то станет
ясно, что оно не имеет действительных корней.
Иногда бывает трудно сказать, пусты
ли те или иные множества нематематической природы. Если кто-нибудь плохо знает
зоологию, он не сможет ответить на вопрос, пусто ли множество акул, живущих в
Байкале, или множество тигров, живущих на свободе в
Австралии.
Долго было неизвестно, пусто ли
множество всех натуральных чисел n
таких, что n > 2, а
уравнение имеет положительные целочисленные решения
(в этом состояла знаменитая проблема Ферма). Лишь в
До сих пор не выяснено, пусто ли
множество целых решений уравнения (при этом допускаются как положительные,
так и отрицательные целые решения; то, что множество решений этого уравнения в
натуральных числах пусто, совершенно очевидно).
Неизвестно и то, пусто ли множество
всех живых плезиозавров на земном шаре, – если чудовище озера Лох-Несс
действительно окажется плезиозавром, то это множество не
пусто.
Теория множеств и школьная
математика
Множества могут состоять из самых
различных элементов – рыб, домов, квадратов, чисел, точек и т.д. Именно этим
объясняется чрезвычайная широта теории множеств и ее приложимость к самым разным
областям знания (математике, механике, физике, биологии, лингвистике и т.д.).
Для математики особо важную роль играют множества, составленные из
«математических» объектов – геометрических фигур, чисел, алгебраических
выражений, функций и т.д.
С некоторыми такими множествами имеют
дело в школьной математике. Особенно часто встречаются числовые множества, то
есть множества, составленные из чисел. Примерами таких множеств могут
служить:
а) множество всех натуральных
чисел,
б) множество всех целых чисел
(положительных, отрицательных и нуля),
в) множество всех рациональных
чисел,
г) множество всех действительных
чисел,
д) множество всех комплексных
чисел,
е) множество площадей правильных
многоугольников, вписанных в данный круг, и т.д.
С каждым уравнением связаны два
числовых множества. Первым из них является множество чисел, при которых
выражения, входящие в уравнение, имеют смысл. Это числовое множество называется
областью допустимых значений неизвестного. Например, для уравнения область допустимых значений состоит
из всех чисел x, для
которых и, то есть из всех чисел, кроме чисел
множества {2, ?2, 3, ?3}. А для уравнения область допустимых значений состоит
из чисел, для которых. Это
неравенство выполняется, если.
Вторым множеством, связанным с
данными уравнением или неравенством, является множество его решений. Например,
для уравнения множество корней состоит из двух чисел
{3, 4}, а для уравнения sin ?x = 0 –
из бесчисленного множества чисел, а именно из всех целых чисел. Когда уравнение
задано, множество M его корней
определено характеристическим свойством – тем, что числа x, входящие в M, удовлетворяют данному уравнению.
После того, как уравнение решено, множество M задано списком (если оно конечно) или
более простым характеристическим свойством (если оно бесконечно), например,
свойством, что все его элементы – целые числа.
В то время как множество решений
уравнения состоит обычно из нескольких чисел или (для большинства
тригонометрических уравнений) из нескольких последовательностей чисел, множество
решений неравенства, как правило, сплошь заполняет некоторые участки множества
действительных чисел. Например, неравенство выполняется на отрезке ,
обозначаемом [?2; 2], а неравенство – на отрезках и . Если
вместо нестрогих взять строгие неравенства, то получатся отрезки с отброшенными
концами, так называемые числовые промежутки. Например, множество решений
неравенств, состоит из
промежутков ?2 < x < 2 и 3 < x < 5, обозначаемых (?2; 2) и (3; 5).
Концы ?2, 2, 3, 5 этих промежутков не удовлетворяют неравенству. Встречаются в
качестве решений неравенства и более сложные множества. Например, решением
неравенства является
множество чисел x таких, что ,
обозначаемое [1; 4). Здесь один конец отрезка (а именно 1) принадлежит множеству
решений, а другой ? число 4 ? не принадлежит ему.
Так как каждое действительное число
изображается точкой на числовой оси, числовые множества можно изображать как
некоторые множества точек на прямой.
Особенно удобно геометрическое
изображение множеств, состоящих из пар или троек чисел. Например, уравнение
задает
множество M пар чисел (x; y), при подстановке которых уравнение
обращается в тождество. Пары чисел (?5; 0), (3; ?4) принадлежат множеству M, так как а пара чисел (1; 6) не
принадлежит множеству M, так как.
Однако такое описание множества M не
очень наглядно. Чтобы описать это множество нагляднее, воспользуемся методом
координат. Если изобразить на плоскости все пары чисел (x; y), для которых , то легко
заметить, что они ложатся на одну и ту же линию, а именно на окружность радиуса
5 с центром в начале координат.
Вопросы для
самоконтроля:
1. Что называют множеством? Приведите
примеры множеств.
2. Какое свойство элементов множества
называется характеристическим?
3. Какие способы задания множеств
существуют?
4. Какое множество называется пустым?
Приведите примеры пустых множеств.
5. Приведите примеры числовых
множеств.