Лекция 5. Дифференциальные уравнения первого порядка

Цель: ознакомиться с простейшими дифференциальными уравнениями первого порядка и алгоритмами их решений.

Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными

Дифференциальное уравнение первого порядка называется уравнением с разделяющимися переменными.

Уравнение называется уравнением с разделенными переменными.

Интегрируя почленно уравнение (2), получим общее решение уравнения (1):

При решении дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными полезно придерживаться следующей схемы:

1) разделить переменные;

2) интегрируя уравнение с разделенными переменными, найти общее решение данного уравнения;

3) найти частное решение, удовлетворяющее начальным условиям (если они заданы).

Заметим, что если а является корнем уравнения , то, очевидно, функция у = а является решением уравнения (1). Поэтому, чтобы получить все решения уравнения (1), надо к полученному общему решению добавить еще решения вида у = а, где а – корень уравнения .

Пример 1. Найти частное решение уравнения , если у = 3 при х = 1.

Решение. Перепишем данное уравнение.

Интегрируя обе части последнего равенства.

Подставив начальные условия х =1, y = 3, найдем C.

Решение. Разделим переменные. Для этого преобразуем данное уравнение.

Проинтегрируем обе части последнего равенства.

Для удобства потенцирования представим у и постоянную интегрирования С₁

Однородные дифференциальные уравнения первого порядка

Функция g(x,у) называется однородной функцией k-й степени, если при любом t имеет место тождество

являются однородными функциями соответственно первой, нулевой и второй степени.

Дифференциальное уравнение первого порядка называется однородным, если его можно представить в виде ,

где Р(х,у) и Q(x,y) – однородные функции одинаковой степени.

Однородное дифференциальное уравнение (3) приводится к дифференциальному уравнению с разделяющимися переменными подстановкой

Решение. В данном уравнении функции , – однородные второй степени, следовательно, данное уравнение является однородным.

Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

Дифференциальное уравнение первого порядка называется линейным.

где Р(х) и Q(x) – заданные функции от х (в частности, постоянные величины).

Линейное уравнение (5) приводится к уравнению с разделяющимися переменными с помощью некоторой подстановки у = uv, где одна из функций u, v подбирается определенным образом, а другая – новая неизвестная функция. Поясним сказанное на конкретном примере.

Вопросы для самоконтроля:

1. Запишите дифференциальное уравнение 1-го порядка в общем виде.

2. Дайте определение дифференциального уравнения 1-го с разделяющимися переменными.

3. Приведите схему решения дифференциального уравнения 1-го с разделяющимися переменными.

4. Какая функция называется однородной?

5. Запишите однородное дифференциальное уравнение 1-го порядка.

6. Запишите линейное дифференциальное уравнение 1-го порядка.